ずばり「JavaScriptのライブラリー」です。
JavaScriptをより手軽にコーディングするため、ジョン・レシグによって生み出され、2006年にリリースされました。
2015年1月現在、jQueryはバージョン1.9.1のリリース後、1.xと2.xの2系列に分割されました。
大きな違いはInternet Explorer（IE）バージョン8以前のサポートにあります。
1.x系のバージョンでは引き続きIE6,7,8をサポートしていますが、2.x系列ではサポートを打ち切りました。
jQueryのどのバージョンを使用するかは、偉い人が決めることなので気にする必要はありませんが、
1.x系のバージョンでも途中で追加・廃止された機能が存在することには注意が必要です。
例えば、1.7では$obj.on()が追加され、1.8からjQueryは5つのモジュールに分割、1.9では$obj.toggle()や$obj.live()等が廃止されました。
しかし、これら全てを覚える必要はありません。必要な時に調べれば良いのです。
不具合が発生した際に「あれ？このバージョンで使える機能かな？」と言うアプローチさえ覚えておけば十分です。
細かい説明はさておき、jQueryとはJavaScriptを手軽にコーディングするためのライブラリーだと言うことをまず頭に置いてください。

ずばり「便利だから」です。
もう一つ理由を挙げるとすれば「デファクトスタンダード」（事実上の標準）だからです。
jQueryがデファクトスタンダードとなるまでには紆余曲折を経た歴史があるのですが、今回は説明しません。
興味のある方は「ECMAScript」や「ブラウザ戦争」、「クロスブラウザー」等のキーワードを調べてみると良いでしょう。
今は「便利でみんなが使っているから」とだけで十分です。
ただし、これから先もずっとjQueryがデファクトスタンダードであり続けるとは限りません。
jQueryがデファクトスタンダードだと言うことに異を唱える人もいますし、jQueryも完璧ではなく、少なからず問題を抱えているからです。
大切なことは常に変化し続ける状況に適応する為の勉強を怠らないことです。

そうですね。しかし最後に1つだけ、お伺いしたいことがあります。
「F12」のキーを押してみてください。
知っていましたか？知っている方は次のページへ進んでください。
知らなかった方、これから頻繁に使う機能なので「F12キー」と呪文のように覚えてください。
使い方は追々として、もう一度「F12」を押すと消えます。